Introdução à Análise de Dados para pesquisa no SUS

Inicialmente vamos construir um intervalo de confiança para média μ de uma população Normal com variância conhecida σ². Seja X₁, X₂, ..., X_numa amostra de tamanho n, vimos pelo Teorema Central do Limite que a média amostral tem distribuição Normal com a mesma média μ e variância σ²/n. Assim,

Podemos fixar um valor γ, tal que 0 < γ < 1, e construir um intervalo de confiança γ, tal que P(-z_γ/2 < Z < z_γ/2) = γ, em que z_γ/2 pode ser obtido a partir da distribuição Normal padrão.

Assim, o intervalo de confiança para μ, é dado por:

Usualmente, utilizamos γ=0,95 e obtemos z_γ/2=1,96. O quantil da distribuição Normal padrão pode ser obtido por meio de tabela ou de qualquer software estatístico. No software R, o comando é qnorm.

A interpretação do intervalo de confiança é a seguinte: se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho, esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor de μ seja igual a γ. A figura a seguir ilustra a interpretação do intervalo de confiança de 95%. A linha horizontal representa a média populacional μ, 100 intervalos de confiança foram construídos e desses 95 contêm o verdadeiro valor μ (azul) e 5 não contêm (vermelho). Na figura a seguir observamos, em azul, os Intervalos de Confiança que contêm o verdadeiro valor da média e, em vermelho, os Intervalos de Confiança que não contêm.

Na prática, raramente conhecemos o desvio-padrão populacional. Nesse caso, ele é estimado pelo desvio-padrão amostral s e o intervalo de confiança para média é dado por:

Em que t_γ/2,n-1 é o valor crítico da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A distribuição t de Student é simétrica e se aproxima da distribuição Normal quando o tamanho da amostra cresce.

A proporção é uma medida bastante utilizada em epidemiologia, uma vez que pode ser interpretada como prevalência ou incidência de uma doença. A proporção pode ser pensada como uma média e podemos utilizar o Teorema Central do Limite para a construção do intervalo de confiança, ou seja, para um tamanho de amostra grande, poderemos aproximá-la para a Normal. Assim:

Em que z_γ/2 é o valor crítico da distribuição da Normal padrão e $\hat{p}$ é a proporção amostral.

Voltando ao exemplo sobre o consumo regular de frutas, pretende-se estimar a proporção p de seu consumo regular. Em uma amostra aleatória representativa da população, observou-se que 475 das 750 pessoas selecionadas informaram ter um consumo regular de frutas. A proporção amostral obtida foi igual a 300/750=0,40. Calculando o intervalo de confiança de 99% para p: como γ=0,99, usamos a distribuição Normal padrão e obtemos z_γ/2=2,58.